3D计算公式精准100%从坐标系到渲染的数学基础3d计算公式精准100%
本文目录导读：
3D坐标系与变换
3D空间中的点可以用笛卡尔坐标系表示,其坐标为(x, y, z)，为了实现物体在空间中的移动、旋转和缩放，我们需要使用坐标变换公式。
点的平移变换
点的平移可以表示为： [ P' = P + T ] ( P = (x, y, z) )，( T = (tx, ty, tz) ) 是平移向量，( P' = (x + tx, y + ty, z + tz) ) 是平移后的点。
点的旋转变换
绕x轴旋转θ角的变换矩阵为： [ R_x(\theta) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & \cos\theta & -\sin\theta \ 0 & \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} ] 类似地，绕y轴和z轴的旋转矩阵分别为： [ R_y(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta \ 0 & 1 & 0 \ -\sin\theta & 0 & \cos\theta \end{pmatrix} ] [ R_z(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \ \sin\theta & \cos\theta & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ] 点绕轴旋转后的坐标为： [ P' = R \cdot P ]
点的缩放变换
缩放变换公式为： [ P' = S \cdot P ] 缩放矩阵( S )为对角矩阵： [ S = \begin{pmatrix} s_x & 0 & 0 \ 0 & s_y & 0 \ 0 & 0 & s_z \end{pmatrix} ] ( s_x, s_y, s_z )分别为x、y、z轴的缩放因子。
3D几何建模
3D几何建模是将三维物体抽象为数学模型的过程,常用的方法包括网格建模和曲面建模。
网格建模
网格建模将3D物体表示为由顶点、边和面组成的多面体，顶点坐标满足以下关系： [ V = { (x_i, y_i, z_i) | i = 1, 2, \dots, n } ] n为顶点总数，面通常由三个顶点定义，形成三角形面片。
曲面建模
曲面建模常用隐式函数或显式参数方程表示,球面的隐式方程为： [ x^2 + y^2 + z^2 = r^2 ] 参数方程为： [ x = r \cos\theta \cos\phi \ y = r \cos\theta \sin\phi \ z = r \sin\theta ] ( \theta )为极角，( \phi )为方位角。
3D物理模拟
3D物理模拟涉及物体的运动、碰撞和变形等物理现象，常用公式包括刚体动力学和弹性力学方程。
刚体动力学
刚体运动由平移和旋转组成,其运动方程为： [ m \cdot \ddot{P} = F \ I \cdot \dot{L} = \tau ] ( m )为质量，( P )为质心位置，( F )为外力，( I )为转动惯量矩阵，( L )为角动量，( \tau )为 torque。
弹性力学
弹性体的变形由应变张量描述： [ \epsilon = \begin{pmatrix} \epsilon{xx} & \epsilon{xy} & \epsilon{xz} \ \epsilon{yx} & \epsilon{yy} & \epsilon{yz} \ \epsilon{zx} & \epsilon{zy} & \epsilon_{zz} \end{pmatrix} ] 应变与应力之间的关系由弹性张量( C )描述： [ \sigma = C : \epsilon ] ( \sigma )为应力张量。
3D渲染与优化
3D渲染是将3D模型转换为2D图像的过程,常用投影变换和光照计算公式。
投影变换
将3D点投影到视图平面,使用透视投影公式： [ x = \frac{X \cdot f}{Z} \ y = \frac{Y \cdot f}{Z} ] ( f )为焦距，( Z )为深度。
光照计算
光照计算常用Phong光照模型,其公式为： [ I = I_a + I_d \cdot D \cdot L + I_s \cdot S ] ( I_a )为环境光，( I_d )为镜面反射光，( I_s )为漫反射光，( D )和( S )分别为镜面反射因子和漫反射因子。
3D数据处理与分析
3D数据处理涉及点云处理和特征提取,常用公式包括主成分分析（PCA）和曲率计算。
PCA降维
PCA通过求协方差矩阵的特征值和特征向量进行降维： [ C = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu)(X_i - \mu)^T ] ( C )为协方差矩阵，( \mu )为均值向量。
曲率计算
曲率计算常用法曲率公式： [ k_n = \frac{II}{I^2 - I_1^2} ] ( II )为第二基本形式，( I )为第一基本形式，( I_1 )为第一基本形式的行列式。
3D计算公式精准100%，从坐标系到渲染的数学基础3d计算公式精准100%，
发表评论